Representasi Data Komputer, Teori dan Konversi Bilangan

1.       Representasi Data Komputer

Data adalah representasi atau hasil rekaman atas kejadian, fakta, atau fenomena yang terjadi dalam dunia nyata.

Pengertian Basisdata

Basisdata adalah sekumpulan informasi mengenai suatu subjek tertentu, yang memiliki keterkaitan logis, lengkap, dan terstruktur. Basisdata menyediakan struktur bagi informasi, dan memungkinkannya untuk digunakan bersama-sama oleh berbagai aplikasi yang berbeda.

Dalam perkembangannya, terdapat berbagai model basisdata, yaitu

1. Model hirarkis

2. Model jaringan

3. Model relasional

4. Model berorientasi objek

Dari beberapa model tersebut, yang paling berkembang dan banyak digunakan pada saat ini adalah model relasional. Model berorientasi objek biasanya dipergunakan untuk kebutuhan tertentu yang lebih spesifik.

Pengenalan Basisdata Relasional

Dalam model relasional, basisdata terdiri atas relasi-relasi atau tabel-tabel, yang dapat saling terhubung satu sama lain. Berikut bagian-bagian dari satu model table

		Field
Header	Field1		Field2	…	Fieldn
Record

                                          Tabel Model Relasional

Field / kolom menyimpan data dengan jenis yang sama. Elemen-elemen dari field adalah

1. Nama. Dalam satu tabel tidak diperkenankan adanya field dengan nama yang sama

2. Tipe data, dapat berupa tipe data standar atau tipe lain yang disediakan oleh basisdata

3. Ukuran. Ukuran field biasanya ditentukan berdasarkan tipenya, kecuali untuk tipe string (untaian karakter). Pada tipe string, pengguna menentukan sendiri ukuran yang digunakan.

Record merupakan representasi dari satu entitas yang dicatat dalam tabel. Dalam sebuah tabel (mestinya) tidak ada dua atau lebih record yang sama persis. Setiap record bersifat unik dalam tabel yang memuatnya.

Model E-R (Entity-Relationship)

Dalam melakukan perancangan basisdata relasional, biasa dipergunakan diagram E-R. Komponen-komponen dalam model E-R  adalah :

A. Entity Set, merupakan kumpulan dari entity yang memiliki atribut-atribut yang sama. Entity dapat diartikan sebagai sesuatu yang dapat dibedakan dari yang lain. Dalam model E-R, biasa digambarkan sebagai berikut:

B. Relationship Set, merupakan himpunan hubungan-hubungan antar entitas-entitas dari dua entity set. Relationship Set dilambangkan sebagai berikut:

RDBMS

RDBMS (Relational Database Management System) merupakan satu paket perangkat lunak yang menyediakan berbagai layanan untuk perancangan, penggunaan, dan pemeliharaan basisdata relasional.

Beberapa kapabilitas umum dari produk RDBMS modern di antaranya adalah

1. Antarmuka dengan pengguna

2. Pemeliharaan integritas basisdata

3. Pemeliharaan  keamanan basisdata

4. Backup dan recovery

5. Pengendalian akses konkuren, dll

Contoh produk DBMS modern : IBM DB2, Oracle, MS SQL Server, MySQL, dll

Nama Tabel

Atribut 1

Atribut 2

Atribut n

Nama Relationship

Multiplicity

Multiplicity

2.      Teori Bilangan dan Konversi Bilangan

Bilangan memiliki basis. Yang biasa dipergunakan adalah basis 10 atau desimal.

Diberikan sebuah bilangan : 5736

Artinya : 5736     =      5000 + 700 + 30 + 6

                        = 5 . 1000 + 7 . 100 + 3 . 10 + 6 . 1

                        = 5 . 10³ + 7 . 10² + 3 . 10¹ + 6 . 10⁰

Contoh sederhana basis bilangan lain yang biasa kita temui :

• sistem bilangan jam, menggunakan basis 12

• perhitungan hari, menggunakan basis 7 (misalnya jika dianggap Ahad=1, Senin=2, … Sabtu =0)

Pada sistem bilangan dengan basis N, digunakan angka-angka 0,1, .. N-1.

Contoh :

• sistem bilangan desimal (basis 10) menggunakan angka 0,1,2,3,..9

• sistem bilangan biner (basis 2) menggunakan angka 0 dan 1

Jika X sebuah nilai yang direpresentasikan dalam sistem bilangan dengan basis N sehingga menjadi rangkaian angka b_i..b₂b₁b₀, maka

X   =  b_i.Nⁱ+..+b₂.N²+b₁.N¹+b₀.N⁰ .........................................................................(1)

                              i

Atau        X    =   ∑ b_a.N^a

                           a=0

Secara teoritis, dapat dibuat sistem bilangan dengan basis berapapun (bulat positif >1)

Perubahan basis

Setiap nilai / besaran tertentu dapat direpresentasikan dengan berbagai sistem bilangan. Dengan demikian dapat pula dilakukan perubahan basis bilangan.

dari basis N ke basis 10

Pengubahan dari basis N ke basis 10 dapat dilakukan dengan menggunakan formula (1) di atas.

Contoh :

342₈ akan diubah menjadi basis 10

342₈         =   3.8²+4.8¹+2.8⁰

              =   3.64+4.8+2.1

              =   192+32+2

              =   226

2AF₁₆ akan diubah menjadi basis 10

2AF       =   2.16²+A.16¹+F.16⁰

              =   2.256+10.16+15.1

              =   512+160+15

              =   687

Untuk digit di belakang koma pada bilangan pecahan, formula (1) tersebut tetap berlaku.

Contoh

0.01101₂ akan diubah menjadi basis 10

0.01101₂      =        1.2^-2+1.2^-3+1.2^-5

              =   1/4 + 1/8 + 1/32

              =   0.25 + 0.125 + 0.03125

              =   0.40625

dari basis 10 ke basis N

Perubahan dari basis 10 ke basis N dilakukan dengan operasi division (pembagian bulat) dan modulus (sisa pembagian bulat) N.

Contoh :

971 akan diubah menjadi basis 8

971 div 8 = 121, modulus (sisa) = 3

121 div 8 = 15,    modulus = 1

15 div 8 = 1,        modulus = 7

                            à 971 = 1713₈

29 akan diubah menjadi basis 2

29 div 2 = 14,      modulus = 1

14 div 2 = 7,        modulus = 0

7 div 2 = 3,          modulus = 1

3 div 2 = 1,          modulus = 1

                            à27 = 11101₂

Untuk digit di belakang koma pada bilangan pecahan, perubahan basis dilakukan dengan mengalikan fraksi pecahan dengan basisnya. Hasil perkaian tersebut kemudian diambil fraksi bulatnya.

Contoh

0.625 akan diubah menjadi basis 2

0.625 x 2    =   1.25

0.25 x 2      =   0.5

0.5 x 2        =   1.0

0.625          =   0.101₂

Aritmatika Basis N

Operasi penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan pada dua bilangan dengan basis yang SAMA. Perhitungan aritmetika pada basis N dilakukan serupa dengan pada basis 10.

Contoh

1                                    1    1

253₆                               110011₂

421_6 +                              11010_{2 +}

1114₆                                  1001101₂

Jika bilangan-bilangan yang dioperasikan dalam kedua contoh di atas diubah menjadi basis 10, maka hasil perhitungan yang diperoleh tetap akan sama

253₆= 105, 421₆= 157, 1114₆= 262;   105+157=262

110011₂ = 51, 11010₂ = 26, 1001101₂ = 77;  51+26=77

Logika Matematika Dasar

Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan dari berbagai elemen dengan karakteristik yang serupa. Suatu himpunan berada dalam semesta tertentu yang membatasi ruang lingkupnya.

Contoh:

- himpunan bilangan bulat positif < 10

- himpunan bilangan prima < 100

- himpunan mahasiswa Teknik Informatika

- dll

relasi himpunan

1. A himpunan bagian dari B, A ⊆ B, jika dan hanya jika setiap elemen A adalah juga elemen B

2. A sama dengan B, A = B, jika dan hanya jika A ⊆ B dan B ⊆ A

_

3. Komplemen himpunan A, A = { x | x  ∉ A}

kombinasi himpunan

Terdapat beberapa macam relasi himpunan, yaitu

1. Gabungan himpunan A dan B, A ∪ B

2. Irisan himpunan A dan B, A ∩ B

3. Perbedaan simetris  belum dibahas

Contoh

Dari Diagram Venn berikut :

S = 1, 2, 3, 4

A = 2, 3 A∪B = 2, 3, 4

B = 3, 4 A∩B = 3

A’ = 1, 4 A-B = 2

B’ = 1, 2  B-A = 4

ALJABAR HIMPUNAN

Berikut operasi-operasi dasar dalam aljabar himpunan

A∪S = S A∩S = A

A∪A = A A∩A = A

A∪A’ = S A∩A’ = ∅

A∪∅ = A A∩∅ = ∅

(A∪B)’ = A’∩B’

(A∩B)’ = A’∪B’

A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A’’ = A

Logika

Dalam logika matematika, setiap pertanyaan atau kombinasi beberapa pernyataan memiliki nilai TRUE (benar) atau FALSE (salah). Kombinasi pernyataan dapat disusun dalam operasi-operasi logika, dengan operasi-operasi dasar sebagai berikut

1. Negasi (NOT), menghasilkan kebalikan nilai kebenaran dari suatu pernyataan

Tabel kebenaran dari operasi Negasi adalah sebagai berikut

P	~p
T	F
F	T

Lambang dalam diagram logika :

1   2   3  4        S

A    B

Tabel kebenaran dari operasi Negasi adalah sebagai berikut

P Q p ∨ q T T T

T			F	T
F			T	T
F			F	F

salah, maka kombinasinya akan be

Tabel kebenaran dari operasi Negasi adalah sebagai berikut

P Q p ∧ q T T T

T			F	F
F			T	F
F			F	F

turun

A . 0 = 0

A . 1 = A

A + 1 = 1A + A’ = 1

A + A’ . B

A’ + A . B =

um-hukum

am omputer terde data dasar, yaitu

1. Bilangan bulat

2. Bilangan pecahan atau floating point

Komputer merepresentasikan data dalam bentuk biner, karena setiap sel / bit data dalam komputer hanya dapat menyimpan dua macam keadaan, yaitu voltase tinggi dan voltase rendah. Perbedaan voltase tersebut mewakili nilai TRUE dan FALSE, atau bit ‘1’ dan ‘0’

Representasi Bilangan Bulat / Integer

Bilangan Bulat Tak Bertanda dapat direpresentasikan dengan

- Bilangan biner – oktal - heksadesimal

- gray code

- BCD (binary coded decimal)

- Hamming code

Bilangan bulat bertanda (positif atau negatif) dapat direpresentasikan dengan

- Sign/Magnitude (S/M)

- 1’s complement

- 2’s complement

Untuk bilangan bulat positif, tidak ada perbedaan dalam ketiga macam representasi bilangan di atas. Terdapat persamaan dalam ketiga representasi tersebut berupa digunakannya MSB (most significant bit) sebagai penanda. MSB bernilai ‘0’ untuk bilangan positif dan ‘1’ untuk bilangan negatif

7	6	5	4	3	2	1	0
MSB							LSB

SIGN/MAGNITUDE

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dari bentuk positifnya dengan mengubah bit pada MSB menjadi bernilai 1. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang nilai yang dapat direpresentasikan adalah -2^N-1-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

+3 = 00011

-3  = 10011

1’S COMPLEMENT

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengkomplemenkan seluruh bit dari nilai positifnya. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang nilai yang dapat direpresentasikan adalah -2^N-1-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

+3 = 00011

-3  = 11100

2’S COMPLEMENT

Representasi negatif dari suatu bilangan diperoleh dengan mengurangkan 2ⁿ dengan nilai positifnya. Jika dipergunakan N bit untuk representasi data, maka rentang nilai yang dapat direpresentasikan adalah -2^N-1 s.d 2^N-1-1

Contoh : jika dipergunakan 5 bit untuk representasi bilangan

2ⁿ = 2⁵ = 100000

+3 = 00011

-3  = 100000-00011

100000

00011-

11101

-3 = 11101

PERBANDINGAN

Berikut tabel perbandingan ketiga cara representasi bilangan bulat bertanda tersebut

B	Nilai yang direpresentasikan
b3b2b1b0	Sign/Magnitude	1’s complement	2’s complement
0111	+7	+7	+7
0110	+6	+6	+6
0101	+5	+5	+5
0100	+4	+4	+4
0011	+3	+3	+3
0010	+2	+2	+2
0001	+1	+1	+1
0000	+0	+0	+0
1000	-0	-7	-8
1001	-1	-6	-7
1010	-2	-5	-6
1011	-3	-4	-5
1100	-4	-3	-4
1101	-5	-2	-3
1110	-6	-1	-2
1111	-7	-0	-1

Representasi Bilangan Pecahan / Floating Point

Bilangan pecahan dapat direpresentasikan dalam bentuk pecahan biasa atau dalam bentuk scientific.

BENTUK PECAHAN BIASA

Dalam bentuk pecahan biasa, bilangan direpresentasikan langsung kedalam bentuk binernya. Contoh : 27.625 = 11011.101₂

BENTUK SCIENTIFIC

Dalam notasi scientific, bilangan pecahan dinyatakan sebagai  X = ±M . B^±E.

M = mantissa

B = basis

E = eksponen

Contoh : 5.700.000 = 57 . 10⁵   M=57, B=10, E=5

Masalah : terdapat tak berhingga banyaknya representasi yang dapat dibuat. Dalam contoh sebelumnya, 5.700.000 = 57.10⁵ = 570.10⁴ = 5,7.10⁶ = 0,57.10⁷ = 0,057.10⁸ dst. Untuk mengatasinya, ditentukan adanya bentuk normal, dengan syarat

1/B ≤ |M|< 1

Dengan demikian, bentuk scientific yang normal (memenuhi persyaratan) dari 5.700.000 adalah 0,57.10⁷

Dalam bentuk normal tersebut, selalu diperoleh mantissa berbentuk ‘0,…’ sehingga dalam representasinya kedalam bit data, fraksi ‘0,’ tersebut dapat dihilangkan.

Mantissa dan eksponen tersebut dapat direpresentasikan menggunakan salah satu cara representasi bilangan bulat bertanda yang telah dibahas di atas. Representasi yang dipilih dapat saja berbeda antara mantissa dengan eksponennya.

Contoh

- Digunakan untaian 16 bit untuk representasi bilangan pecahan

- 10 bit pertama digunakan untuk menyimpan mantissa dalam bentuk S/M

- 6 bit sisanya digunakan untuk menyimpan mantissa dalam bentuk 1’s complement

- Akan direpresentasikan bilangan 0,00000075

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Mantissa										Eksponen

0,00000075 = 0,75 . 10-6  M = 0,75;  E = -6

Representasi Mantissa :

0,75 = 0,11₂. Karena sudah dalam bentuk normal ‘0,’dapat dihilangkan.

S/M  MSB sebagai penanda. Dengan demikian, mantissa = 0110000000

Representasi Eksponen : 6=110₂ . Karena digunakan 6 bit, 110₂ = 000110.

1’s complement  -6 = 111001

Representasi :

0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	1
15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

2.7 Representasi Karakter

Terdapat beberapa macam cara representasi karakter sebagai berikut

1. ASCII (American Standard Code for Information Interchange)

2. SBCDIC (Standard Binary Coded Decimal Interchanged Code)

3. EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchanged Code)

4. Unicode

ASCII

Terdapat dua macam ASCII, yaitu yang mempergunakan 7 bit dan 8 bit. Pada ASCII yang mempergunakan 7 bit, terdapat dua kelompok karakter, yaitu

1. Karakter Kontrol, digunakan untuk mengontrol pengiriman atau transmisi data

2. Karakter Informasi, merupakan karakter yang mewakili data

Terdapat beberapa macam karakter kontrol, yaitu

- transmission control, digunakan untuk mengendalikan arus data yang dikirimkan melalui media transmisi. Contoh : SOH (Start of Header), STX (Start of Text), EOT (End of Text), dll

- format effector, digunakan untuk mengatur susunan secara fisik dari informasi yang ditampilkan ke layar. Contoh : LF (Line Feed), CR (Carriage Return), FF (Form Feed), dll

- device control, digunakan untuk mengendalikan peralatan fisik di terminal

- information separator, digunakan sebagai elemen pembatas data yang ditransmisikan. Contoh : US (Unit Separator), RS (Record Separator), FS (File Separator), dll

Unicode

Unicode menggunakan 16 bit untuk merepresentasikan karakter. Dengan demikian, banyaknya karakter yang dapat direpresentasikan adalah 2¹⁶ atau 65.536 karakter. Keunggulan Unicode dari ASCII adalah kemampuannya untuk menyimpan simbol / karakter yang jauh lebih besar. Himpunan 256 karakter pertama dari Unicode merupakan pemetaan karakter ASCII 8 bit, sehingga Unicode tetap kompatibel dengan ASCII. Selain merepresentasikan seluruh karakter ASCII, Unicode dapat merepresentasikan juga berbagai macam simbol diluar ASCII, seperti huruf Arab, Kanji, Hiragana, Katakana, dan lain-lain.